« Естественный порядок наращивания знаний и умений
всегда имеет характер развития по спирали» А.Н. Колмогоров
«Математика как школьный предмет, пожалуй, самое сложное, что есть в образовании. Это и наука, и универсальный язык, однако, прежде всего – это культурный феномен. Математика в широком смысле, математика для всех – это искусство логически правильно мыслить, владеть пространственными формами, делать правдоподобные оценки. Другими словами, школьная математика – это дисциплина, позволяющая человеку адекватно ориентироваться в окружающем мире» [5].
Сегодня всех, как никогда ранее, охватил зуд реформирования образовательной и воспитательной систем образования в стране: пишутся новые программы, учебники, проекты, создаются различные концепции, которые подчас в корне меняют устоявшиеся методики, отметают традиции, а значит, и опыт, который накапливался веками. Торопливость реформаторов настораживает. Стоит вспомнить реформу математического образования 70-х. С одной стороны, она привнесла в школу многие элементы современной математики и сблизила школьную и вузовскую программы, а с другой, «замена традиционной арифметики на математику в младшем и среднем звене привела к потере многих эффективных, проверенных временем методов развития логического мышления и формирования навыков поиска алгоритмов решения задач, что впоследствии сказывается на изучении прежде всего геометрии» [2]. И сегодня предпринимаются попытки изменить программу, ввести новые разделы (например, теорию вероятностей), тесня старые, что подчас весьма спорно. Единый государственный экзамен стал фактически скрытой новой реформой, расчленяющей математику на её составляющие. К тому же ЕГЭ стали использовать для выстраивания учителей по рейтингу и ослабленное, более чем 50 летней политикой государства, учительство, хотим мы того или нет, стало брать крен в сторону натаскивания, а многочисленные методические пособия по подготовке к ЕГЭ этому способствуют. А ведь «заученная математика – это абсурд по определению, потому что сама суть математики – это логическое понимание и красота мыслительного процесса … Мышление – условие появления в голове человека знаний…» [4].
Содержание программ по математике в младшем и среднем звене – предмет особого разговора, и я не стану его здесь касаться, а буду говорить лишь о преподавании математики в старшей школе, где работаю. Более 10 лет я веду поиски ответа на вопрос: какой должна быть технология изучения математики в 10-11-х классах, чтобы при незначительной корректировке существующих программ и на базе, которую даёт сегодня основная школа, существенно повысит качество математических знаний выпускников?
Математика в старших классах – венец школьной математики, завершающий этап её изучения для большинства учеников. Поэтому к концу обучения у выпускников должно сложиться целостное представление об одной из важнейших наук. Я уверен, что «математическая культура зависит не от количества изученных вопросов, а от качества их осознания и понимания взаимосвязей между ними. Мы должны дать своим ученикам прежде всего ШКОЛУ, как в балете, которая позволит справиться им с обрушивающейся на них лавиной информации, в том числе и научной. А бороться с этой лавиной, не имея ШКОЛЫ, - дело столь же бесперспективное, как и гнаться за ней» [1].
Один из путей, ведущих к постижению математики, - следование словам Колмогорова [3], вынесенным в эпиграф. Поиски вывели меня на такую спираль в курсе алгебры и начал анализа.
Придерживаясь общегосударственной программы, я
ввёл в неё, для устранения существующих логических пробелов, некоторые элементы теорий уравнений и пределов (подробнее в работе [1]);
создал своё тематическое планирование (технологию), напоминающее винтовую лестницу, расширяющуюся кверху: над каждой «точкой» образовательного пространства ученики проходят многократно, но каждый раз смотрят на неё с другой высоты и под иным углом зрения, что позволяет лучше осмыслить увиденное. Систематическое повторение основных математических идей, методов и «технических» приёмов на новом материале и на новом уровне знаний, наряду с традиционным повторением есть не что иное, как следование известной мудрости - «повторение – мать учения».
1-ый виток моей лестницы (спирали) приходится на 1-9 классы. Там по индукции идёт накопление фактов, появляются важнейшие математические объекты, устанавливаются первые связи между ними, делаются первые обобщения.
В 10-11 классах преобладающими становятся дедуктивный подход, разного рода обобщения и систематизация имеющихся знаний.
2-ой виток - I - III четверти 10 класса. Первое полугодие идёт обобщающее повторение курса алгебры основной школы, а на уроках геометрии в первой четверти изучается метод координат на плоскости. В третьей четверти на уроках алгебры изучается предел и непрерывность функции, её производная и их приложения с выходом на полное исследование функции и построение графиков на известных уже школьникам примерах. Функция становится центром всего изучаемого курса.
Таким образом, на втором витке систематизируются и углубляются прежние знания и добавляются новые, на базе которых далее будут изучаться все остальные программные вопросы, что способствует более глубокому проникновению в предмет, и формированию подлинной математической культуры.
3-ий виток – IV четверть 10 класса и часть I четверти 11 класса изучаются тригонометрические функции, их свойства, графики и производные, тригонометрические уравнения, и неравенства. Происходит и знакомство с обратными тригонометрическими функциями их свойствами, графиками и производными, что при 12-летнем обучении может стать ещё одним полнокровным витком нашей лестницы.
4-ый виток – часть I-ой четверти 11 класса – некоторые иррациональные функции, уравнения и неравенства.
5-ый виток – часть II-ой четверти 11 класса – показательная функция, её свойства, график и производная, показательные уравнения и неравенства.
6-ой виток – часть II-ой и III-ей четверти – логарифмические функция, её свойства, график и производная, логарифмические уравнения и неравенства.
На 3-6 витках осуществляется переход от общих представлений о функции к частным, конкретным элементарным функциям, расширяется множество методов решений уравнений, рассматриваются различные подходы к решению аналогичных задач.
7-ой виток – часть III-ей и IV-ая четверти 11 класса – обобщение всего пройденного за курс средней школы.
Кроме того, в ходе изучения происходит «расширение горизонтов», что проявляется в возвращении к ранее пройденному на новом уровне знаний и экскурсах в те области математики, которые едва затрагиваются в школе или вообще в ней не изучаются. Это позволяет сделать школьный курс математики «закруглённым» с одной стороны и стартовой площадкой для тех, кто будет изучать математику дальше.
При такой технологии сложно работать по существующим учебникам, и мне пришлось создать свой лекционный курс, который лёг в основу учебника по алгебре и началам анализа, над которым я сегодня и работаю.
Многолетний опыт работы показывает, что ученики, обучавшиеся по этой технологии, хорошо справляются с различными экзаменами по математике, в том числе и с ЕГЭ, поступают в престижные вузы страны и успешно там учатся.
Список литературы
[1] Козлов С.Д. Математика в школе. Какой ей быть? – В ж.: Математика в школе, №3, 2001, [с. 60].
[2] Козлов С.Д.. Математика. Чему учить в школе? – В сб.: Международный конкурс педагогов. З-ий подсеминар. Артек 2001, [с.45].
[3] Колмогоров А.Н.. К обсуждению работы... – В кн.: Математика в образовании и воспитании. М., 2000, [с 132].
[4] Лобок А.М.. Другая математика. Ж-л «Школьные технологии» №6, 1998, [стр.9].
[5] Соловьёв Ю.П.. Два принципа построения образовательных программ по математике. – В кн.: Математика в образовании и воспитании. М., 2000, [стр. 207].
Козлов С.Д, Заслуженный учитель Российской Федерации
